Mas isso não era óbvio. Eles teriam que analisar um conjunto especial de funções, chamadas somas do Tipo I e do Tipo II, para cada versão do problema e depois mostrar que as somas eram equivalentes, independentemente da restrição usada. Só então Green e Sawhney saberiam que poderiam substituir números primos brutos em sua prova sem perder informações.
Eles logo chegaram a uma conclusão: poderiam mostrar que as somas eram equivalentes usando uma ferramenta que cada um deles havia encontrado independentemente em trabalhos anteriores. A ferramenta, conhecida como norma de Gowers, foi desenvolvida décadas antes pelo matemático Timothy Gowers para medir o quão aleatória ou estruturada é uma função ou conjunto de números. À primeira vista, a norma de Gowers parecia pertencer a um domínio completamente diferente da matemática. “É quase impossível, para quem está de fora, dizer que essas coisas estão relacionadas”, disse Sawhney.
Mas usando um resultado histórico comprovado em 2018 pelos matemáticos Terence Tao e Tamar ZieglerGreen e Sawhney encontraram uma maneira de fazer a conexão entre as normas de Gowers e as somas dos Tipos I e II. Essencialmente, eles precisavam usar as normas de Gowers para mostrar que seus dois conjuntos de números primos — o conjunto construído com números primos aproximados e o conjunto construído com números primos reais — eram suficientemente semelhantes.
No final das contas, Sawhney sabia como fazer isso. No início deste ano, para resolver um problema não relacionado, ele desenvolveu uma técnica para comparar conjuntos usando normas de Gowers. Para sua surpresa, a técnica foi boa o suficiente para mostrar que os dois conjuntos tinham as mesmas somas dos Tipos I e II.
Com isso em mãos, Green e Sawhney provaram a conjectura de Friedlander e Iwaniec: Existem infinitos primos que podem ser escritos como p2 + 4q2. Em última análise, eles foram capazes de estender o seu resultado para provar que existem infinitos números primos pertencentes também a outros tipos de famílias. O resultado marca um avanço significativo num tipo de problema onde o progresso é geralmente muito raro.
Ainda mais importante, o trabalho demonstra que a norma Gowers pode funcionar como uma ferramenta poderosa num novo domínio. “Por ser tão novo, pelo menos nesta parte da teoria dos números, há potencial para fazer muitas outras coisas com ele”, disse Friedlander. Os matemáticos esperam agora alargar ainda mais o âmbito da norma de Gowers – tentar utilizá-la para resolver outros problemas na teoria dos números para além da contagem de primos.
“É muito divertido para mim ver coisas que pensei há algum tempo terem novas aplicações inesperadas”, disse Ziegler. “É como um pai, quando você liberta seu filho e ele cresce e faz coisas misteriosas e inesperadas.”
História original reimpresso com permissão de Revista Quantauma publicação editorialmente independente do Fundação Simons cuja missão é melhorar a compreensão pública da ciência, cobrindo desenvolvimentos e tendências de pesquisa em matemática e ciências físicas e biológicas.
