Em outras palavras, o 10º problema de Hilbert é indecidível.
Os matemáticos esperavam seguir a mesma abordagem para provar a versão prolongada e anéis de integros do problema-mas eles atingem um obstáculo.
Gumming Up the Works
A correspondência útil entre as máquinas Turing e as equações da diofantina se desfaz quando as equações podem ter soluções não inteiras. Por exemplo, considere novamente a equação y = x2. Se você está trabalhando em um anel de números inteiros que inclui √2, você acabará com algumas novas soluções, como x = √2, y = 2. A equação não corresponde mais a uma máquina de Turing que calcula quadrados perfeitos – e, de maneira mais geral, as equações diofantinas não podem mais codificar o problema de parada.
Mas em 1988, um estudante de pós -graduação da Universidade de Nova York nomeado Sasha Shlapentokh Começou a brincar com idéias sobre como contornar esse problema. Em 2000, ela e outros haviam formulado um plano. Diga que você deveria adicionar um monte de termos extras a uma equação como y = x2 Isso magicamente forçado x Para ser um número inteiro novamente, mesmo em um sistema numérico diferente. Então você pode salvar a correspondência para uma máquina de Turing. O mesmo poderia ser feito para todas as equações da diofantina? Nesse caso, isso significaria que o problema de Hilbert poderia codificar o problema de parada no novo sistema de números.
Ilustração: Myriam Wares para Quanta revista
Ao longo dos anos, Shlapentokh e outros matemáticos descobriram quais termos eles tinham que acrescentar às equações diofantinas para vários tipos de anéis, o que lhes permitiu demonstrar que o problema de Hilbert ainda era indecidível nesses ambientes. Eles então ferveram todos os anéis restantes de números inteiros em um caso: anéis que envolvem o número imaginário eu. Os matemáticos perceberam que, neste caso, os termos que eles precisariam adicionar poderiam ser determinados usando uma equação especial chamada curva elíptica.
Mas a curva elípica teria que satisfazer duas propriedades. Primeiro, precisaria ter infinitamente muitas soluções. Segundo, se você mudou para um anel diferente de números inteiros – se você removesse o número imaginário do seu sistema de números -, todas as soluções para a curva elíptica teriam que manter a mesma estrutura subjacente.
Como se viu, construir uma curva tão elíptica que funcionava para cada anel restante era uma tarefa extremamente sutil e difícil. Mas Koymans e Pagano – experimentam curvas elípticas que haviam trabalhado juntos desde que estavam na pós -graduação – tinham a ferramenta certa definida para tentar.
Noites sem dormir
Desde seu tempo na graduação, Koymans estava pensando no 10º problema de Hilbert. Durante a pós -graduação e durante toda a sua colaboração com Pagano, ele acenou. “Passei alguns dias todos os anos pensando nisso e ficando terrivelmente preso”, disse Koymans. “Eu tentaria três coisas e todas elas explodiriam na minha cara.”
Em 2022, enquanto em uma conferência em Banff, Canadá, ele e Pagano acabaram conversando sobre o problema. Eles esperavam que, juntos, pudessem construir a curva elíptica especial necessária para resolver o problema. Depois de terminar outros projetos, eles começaram a trabalhar.
