“Acreditamos principalmente que todas as conjecturas são verdadeiras, mas é tão emocionante vê -lo realmente percebido”, disse CARABIANum matemático no Imperial College London. “E em um caso que você realmente pensou que ficaria fora de alcance.”
É apenas o começo de uma caçada que levará anos – os matemáticos querem mostrar modularidade para cada superfície abeliana. Mas o resultado já pode ajudar a responder a muitas perguntas abertas, assim como a modularidade para as curvas elípticas abriu todos os tipos de novas direções de pesquisa.
Através do vidro de aparência
A curva elíptica é um tipo particularmente fundamental de equação que usa apenas duas variáveis –x e y. Se você representar suas soluções, verá o que parecem ser curvas simples. Mas essas soluções estão inter -relacionadas de maneiras ricas e complicadas e aparecem em muitas das questões mais importantes da teoria dos números. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, por exemplo-um dos problemas abertos mais difíceis em matemática, com uma recompensa de US $ 1 milhão por quem quer que isso isso seja primeiro-é sobre a natureza das soluções para as curvas elípticas.
Curvas elípticas podem ser difíceis de estudar diretamente. Então, às vezes, os matemáticos preferem abordá -los de um ângulo diferente.
É aí que entra as formas modulares. Uma forma modular é uma função altamente simétrica que aparece em uma área ostensivamente separada de estudo matemático chamado análise. Como eles exibem tantas simetrias agradáveis, as formas modulares podem ser mais fáceis de trabalhar.
A princípio, esses objetos parecem que não deveriam estar relacionados. Mas a prova de Taylor e Wiles revelou que toda curva elíptica corresponde a uma forma modular específica. Eles têm certas propriedades em comum – por exemplo, um conjunto de números que descreve as soluções para uma curva elíptica também surgirão em sua forma modular associada. Os matemáticos podem, portanto, usar formas modulares para obter novas idéias sobre as curvas elípticas.
Mas os matemáticos pensam que o teorema da modularidade de Taylor e Wiles é apenas um exemplo de fato universal. Há uma classe muito mais geral de objetos além das curvas elípticas. E todos esses objetos também devem ter um parceiro no mundo mais amplo de funções simétricas, como formas modulares. Em essência, é disso que se trata o programa Langlands.
Uma curva elíptica tem apenas duas variáveis –x e y– para que possa ser representado graficamente em uma folha plana de papel. Mas se você adicionar outra variável, zvocê obtém uma superfície curvilínea que vive no espaço tridimensional. Esse objeto mais complicado é chamado de superfície abeliana e, como nas curvas elípticas, suas soluções têm uma estrutura ornamentada que os matemáticos querem entender.
Parecia natural que as superfícies abelianas correspondam a tipos mais complicados de formas modulares. Mas a variável extra os torna muito mais difíceis de construir e suas soluções muito mais difíceis de encontrar. Provando que eles também satisfazem um teorema da modularidade parecia completamente fora de alcance. “Era um problema conhecido em não pensar, porque as pessoas pensaram sobre isso e ficaram presas”, disse Gee.
Mas Boxer, Calegari, Gee e Pilloni queriam experimentar.
Encontrando uma ponte
Todos os quatro matemáticos estavam envolvidos em pesquisas sobre o programa Langlands e queriam provar uma dessas conjecturas para “um objeto que realmente aparece na vida real, em vez de algo estranho”, disse Calegari.
Não apenas as superfícies abelianas aparecem na vida real – a vida real de um matemático, isto é – mas provando um teorema da modularidade sobre eles abriria novas portas matemáticas. “Há muitas coisas que você pode fazer se tiver essa afirmação de que não tem chance de fazer o contrário”, disse Calegari.
Os matemáticos começaram a trabalhar juntos em 2016, na esperança de seguir os mesmos passos que Taylor e Wiles tiveram em suas provas sobre curvas elípticas. Mas cada uma dessas etapas foi muito mais complicada para as superfícies abelianas.
Então eles se concentraram em um tipo específico de superfície abeliana, chamada de superfície abeliana comum, que era mais fácil de trabalhar. Para qualquer superfície, há um conjunto de números que descreve a estrutura de suas soluções. Se eles pudessem mostrar que o mesmo conjunto de números também poderia ser derivado de uma forma modular, eles seriam feitos. Os números serviriam como uma tag exclusiva, permitindo que eles emparelhassem cada uma de suas superfícies abelianas com uma forma modular.
